Chapter5 波動方程式

5.1 正弦波

正弦波を表す式を導出します.つまり,正弦波の波動一般量の時間的,かつ空間的変化を表すことにします.まず,原点の調和振動子の振動の波動一般量 $ \psi(t,x=0)$ は,

$\displaystyle \psi(t,x=0)=A\sin\omega t$

です.ここで,$ A$ は振幅であり,簡単のため初期位相は $ 0[rad]$ にしました.ここで,ある時刻 $ t'[s]$ において,原点での波動一般量 $ \psi(t=t',x)$ を図のように示しておきます.

正弦波3

Figure5.1: 正弦波3

時間が経過し,波動が $ x[m]$ だけ進行します.そのときの時刻を $ t[s]$ とします.

正弦波4

Figure5.2: 正弦波4

原点 $ O$ の波動一般量が,原点から $ x[m]$ 離れた点 $ P$ に伝わるのに,時間 $ \frac{x}{v}[s]$ だけかかります.したがって,

  $\displaystyle t'+\dfrac{x}{v}=t$    
% latex2html id marker 2307
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle t'=t-\dfrac{x}{v}$    

の関係があります.以上のことをまとめると,

 "時刻 $ t[s]$ における点 $ P$ の波動一般量は,時刻 $ (t-\dfrac{x}{v})[s]$ における原点 $ O$ の波動一般量に等しくなります."

ということになります.故に,正弦波を表す式は,

$\displaystyle \psi($時刻 $ t[s]$ における点 $ P$ の波動一般量$\displaystyle )=\{$時刻 $ (t-\dfrac{x}{v})[s]$ における原点 $ O$ の波動一般量$\displaystyle \}$

ですから,次のようになります.

$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =A\sin\omega(t-\dfrac{x}{v})$    
  $\displaystyle =A\sin(\omega t-\dfrac{\omega}{v}x)$    
% latex2html id marker 2332
$\displaystyle \therefore\psi(t,x)$ $\displaystyle =A\sin(\omega t-kx)$    

ただし,$ k[rad/m]$ は次式で定義される物理量であり,波数といいます.

  $\displaystyle k=\dfrac{\omega}{v}=\dfrac{2\pi}{vT}$    
% latex2html id marker 2337
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle k\equiv\dfrac{2\pi}{\lambda}$    

つまり,波数は長さ $ 2\pi[rad]$ の中に含まれる波の数になります.また,上式より,

$\displaystyle v=\dfrac{\omega}{k}$

が成立します.

 正弦波を表す式には,波動一般量 $ \psi$ に対して時間 $ t[s]$ と空間 $ x[m]$ の2変数が含まれます.したがって,この式を1つの図に表すことはできません.そこで,時間を止めて波動一般量 $ \psi$ の空間的変化を調べるか,またはある位置に着目して波動一般量 $ \psi$ の時間的変化を調べるしか方法がありません.例えば,時間を $ t=0[s]$ に固定すると,正弦波を表す式は,

  $\displaystyle \psi(t,x)=A\sin(-kx)$    
% latex2html id marker 2356
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \psi(t,x)=-A\sin kx$    

となりますが,このグラフは正弦曲線をなし,時刻 $ t=0[s]$ に時間を止めたときの波形を表します.一方,ある位置として原点 $ O$ を選ぶと,正弦波を表す式は,

$\displaystyle \psi(t,x)=A\sin\omega t$

となりますが,このグラフも正弦曲線をなします.しかし,この正弦曲線は波形を表すのではないことに注意しましょう.原点という位置における波動一般量 $ \psi$ の時間的変化,つまり,振動によって波動一般量 $ \psi$ が時間とともにどのように変化するかを示しています.

 次に,正弦波の位相について説明しておきます.正弦波は各点が調和振動子の振動をしていますが,調和振動子の運動は等速円運動の正射影の運動でした.そのとき,等速円運動の角度部分は調和振動子の位相です.したがって,正弦波の場合も各点の調和振動に各点の等速円運動が対応し,各点の位相が存在します.この各点の位相のことを正弦波の位相といいます.式の上では,正弦波を表す式の正弦の角度部分,すなわち上式では, $ (\omega t-kx)[rad]$ が正弦波の位相になります.また,位相の意味を考えて,それを図示します.

位相

Figure5.3: 位相

図の各点の $ \theta[rad]$ が正弦波の位相です.この図からわかるように,位置が1波長進むと位相は $ 2\pi[rad]$ 遅れます.また,時間が1周期進むと位相は $ 2\pi[rad]$ 進みます.

 このSectionの最後に,負の方向に進む正弦波を表す式を与えておきます.この式は,上の議論と全く同様に導出できますが,簡単に伝播速度 $ v[m/s]$$ -v[m/s]$ に置き換えるだけでも求められます.

$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =A\sin\omega\{t-\dfrac{x}{(-v)}\}$    
  $\displaystyle =A\sin\omega(t+\dfrac{x}{v})$    
% latex2html id marker 2387
$\displaystyle \therefore\psi(t,x)$ $\displaystyle =A\sin(\omega t+kx)$    

 

5.2 1次元一般波動

波形が形を変えずに,一定の速さ $ v[m/s]$ で正の方向に進む波動を考えましょう.ただし,波形は任意のものとします.原点における時刻 $ t'[s]$ での波動一般量 $ \psi(t=t',x=0)$ は,

$\displaystyle \psi(t=t',x=0)=f(t')$

と表せます.関数 $ f(t')$ は任意であり,原点での振動の時間的変化を表します.時間が経過し,波動が $ x[m]$ だけ進行します.そのときの時刻を $ t[s]$ とします.状況を図に示します.

1次元一般波動

Figure5.4: 1次元一般波動

原点 $ O$ の波動一般量が,原点から $ x[m]$ 離れた点 $ P$ に伝わるのに,時間 $ \frac{x}{v}[s]$ だけかかります.したがって,

  $\displaystyle t'+\dfrac{x}{v}=t$    
% latex2html id marker 2417
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle t'=t-\dfrac{x}{v}$    

の関係があります.以上のことをまとめると,

 "時刻 $ t[s]$ における点 $ P$ の波動一般量は,時刻 $ (t-\dfrac{x}{v})[s]$ における原点 $ O$ の波動一般量に等しくなります."

ということになります.故に,1次元一般波動を表す式は,

$\displaystyle \psi($時刻 $ t[s]$ における点 $ P$ の波動一般量$\displaystyle )=\{$時刻 $ (t-\dfrac{x}{v})[s]$ における原点 $ O$ の波動一般量$\displaystyle \}$

ですから,

$\displaystyle \psi(t,x)=f(t-\dfrac{x}{v})$

となります.ここで,$ f$ $ (t-\frac{x}{v})[s]$ の全く任意の関数であることに注意しましょう.このとき,時間 $ t[s]$ を固定すると,その瞬間における $ \psi$ は波形を表しますが,この波形は縦軸が波動一般量の波形です.$ \psi$ が変位の場合に限り,実際に目に見える波形に一致します.一方,位置 $ x[m]$ を固定すると,$ \psi$ はその点における振動の時間的変化を表します.また,波動が負の方向に進む場合も,上記と同様な議論により波動一般量を表す式が導かれますが,ここでは簡単に波動の速さ $ v[m/s]$$ -v[m/s]$ に置き換えるだけで求めることができます.その結果は次のようになります.

$\displaystyle \psi(t,x)=f(t+\dfrac{x}{v})$

以上のような波動を1次元一般波動と呼ぶことにしましょう.ここで,正弦波も1次元一般波動の形になっていることは明らかです.また,余弦関数を用いても正弦波を表すことができます.これは初期位相を $ \frac{\pi}{2}[rad]$ 進めることに相当します.さらに,複素数の指数関数を用いても正弦波を表すことができます.この関数の実数部は余弦関数,虚数部は正弦関数だからです.以上の正弦波をまとめて記しておきます.

$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =A\sin⁡(\omega t-kx)$    
$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =A\sin⁡(\omega t+kx)$    
$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =A\cos⁡(\omega t-kx)$    
$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =A\cos⁡(\omega t+kx)$    
$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =A\,e^{i(\omega t-kx)}$    
$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =A\,e^{i(\omega t+kx)}$    

それぞれ,$ kx[rad]$ の前の符号が負のとき正の方向に伝わる正弦波を表し,$ kx[rad]$ の前の符号が正のとき負の方向に伝わる正弦波を表します.

 

5.3 1次元波動方程式

一定の波形,一定の速さで伝搬する波動は,前のSectionで述べたように,

$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =f(t-\dfrac{x}{v})$    
$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =f(t+\dfrac{x}{v})$    

という形をもちます.上の式が,正の方向に進行する1次元一般波動,下の式が負の方向に進行する1次元一般波動を表します.このとき,$ \psi(t,x)$ が満たす方程式を求めてみましょう.

 まず,正の方向に進む波動について調べてみます.

$\displaystyle \xi\equiv t-\dfrac{x}{v}$

とおき,$ \psi(t,x)$$ t[s]$ についての2次導関数を求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,x)}{\partial t}$ $\displaystyle =\dfrac{df(\xi)}{d\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{df(\xi)}{d\xi}$    
% latex2html id marker 2495
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,x)}{\partial t^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{d}{d\xi}(\dfrac{df(\xi)}{d\xi})\dfrac{\partial\xi}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{d^{2}f(\xi)}{d\xi^{2}}$    

続けて,$ \psi(t,x)$$ x[m]$ についての2次導関数も求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,x)}{\partial x}$ $\displaystyle =\dfrac{df(\xi)}{d\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial x}$    
  $\displaystyle =-\dfrac{1}{v}\dfrac{df(\xi)}{d\xi}$    
% latex2html id marker 2505
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,x)}{\partial x^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{d}{d\xi}(-\dfrac{1}{v}\dfrac{df(\xi)}{d\xi})\dfrac{\partial\xi}{\partial x}$    
  $\displaystyle =\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{d^{2}f(\xi)}{d\xi^{2}}$    

故に,次の1次元波動方程式といわれる,波動についての基礎方程式が成立します.

$\displaystyle \dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi(t,x)}{\partial t^{2}}=\dfrac{\partial^{2}\psi(t,x)}{\partial x^{2}}$ (5.1)

次に,負の方向に進む波動について調べてみます.

$\displaystyle \eta\equiv t+\dfrac{x}{v}$

とおき,$ \psi(t,x)$$ t[s]$ についての2次導関数を求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,x)}{\partial t}$ $\displaystyle =\dfrac{df(\eta)}{d\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{df(\eta)}{d\eta}$    
% latex2html id marker 2519
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,x)}{\partial t^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{d}{d\eta}(\dfrac{df(\eta)}{d\eta})\dfrac{\partial\eta}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{d^{2}f(\eta)}{d\eta^{2}}$    

続けて,$ \psi(t,x)$$ x[m]$ についての2次導関数も求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,x)}{\partial x}$ $\displaystyle =\dfrac{df(\eta)}{d\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial x}$    
  $\displaystyle =\dfrac{1}{v}\dfrac{df(\eta)}{d\eta}$    
% latex2html id marker 2529
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,x)}{\partial x^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{d}{d\eta}(\dfrac{1}{v}\dfrac{df(\eta)}{d\eta})\dfrac{\partial\eta}{\partial x}$    
  $\displaystyle =\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{d^{2}f(\eta)}{d\eta^{2}}$    

したがって,負の方向に進む波動についても,1次元波動方程式(5.1)式が,やはり成立します.

 また,

$\displaystyle \psi(t,x)=f_{1}(t-\dfrac{x}{v})+f_{2}(t+\dfrac{x}{v})$

の形の $ \psi(t,x)$ も1次元波動方程式(5.1)式を満たします.このことを,次のように確かめておきます.$ \psi(t,x)$$ t[s]$ についての2次導関数を求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,x)}{\partial t}$ $\displaystyle =\dfrac{df_{1}(\xi)}{d\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial t}+\dfrac{df_{2}(\eta)}{d\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{df_{1}(\xi)}{d\xi}+\dfrac{df_{2}(\eta)}{d\eta}$    
% latex2html id marker 2543
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,x)}{\partial t^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{d}{d\xi}(\dfrac{df_{1}(\xi)}{d\xi})\dfrac{\partial\xi}{\p...
...}+\dfrac{d}{d\eta}(\dfrac{df_{2}(\eta)}{d\eta})\dfrac{\partial\eta}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{d^{2}f_{1}(\xi)}{d\xi^{2}}+\dfrac{d^{2}f_{2}(\eta)}{d\eta^{2}}$    

続けて,$ \psi(t,x)$$ x[m]$ についての2次導関数も求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,x)}{\partial x}$ $\displaystyle =\dfrac{df_{1}(\xi)}{d\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial x}+\dfrac{df_{2}(\eta)}{d\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial x}$    
  $\displaystyle =-\dfrac{1}{v}\dfrac{df_{1}(\xi)}{d\xi}+\dfrac{1}{v}\dfrac{df_{2}(\eta)}{d\eta}$    
% latex2html id marker 2553
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,x)}{\partial x^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{d}{d\xi}(-\dfrac{1}{v}\dfrac{df_{1}(\xi)}{d\xi})\dfrac{\p...
...d\eta}(\dfrac{1}{v}\dfrac{df_{2}(\eta)}{d\eta})\dfrac{\partial\eta}{\partial x}$    
  $\displaystyle =\dfrac{1}{v^{2}}(\dfrac{d^{2}f_{1}(\xi)}{d\xi^{2}}+\dfrac{d^{2}f_{2}(\eta)}{d\eta^{2}})$    

故に,$ \psi(t,x)$ は1次元波動方程式(5.1)式を満たすことが確認されました.

 逆に,1次元波動方程式(5.1)式を満たす関数は,

$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =f(t-\dfrac{x}{v})$    
$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =f(t+\dfrac{x}{v})$    
$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =f_{1}(t-\dfrac{x}{v})+f_{2}(t+\dfrac{x}{v})$    

のいずれかの形をもつことを示しておきます.

  $\displaystyle t=\dfrac{1}{2}(\xi+\eta)$    
  $\displaystyle x=\dfrac{v}{2}(\eta-\xi)$    

ですから,

$\displaystyle \psi(t,x)=\psi\{\xi(t,x),\eta(t,x)\}$

の関係があります.$ \psi(t,x)$$ t[s]$ についての2次導関数を求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,x)}{\partial t}$ $\displaystyle =\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi}\dfrac{\partial\xi}{\...
...t}+\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi}+\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\eta}$    
% latex2html id marker 2575
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,x)}{\partial t^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{\partial}{\partial\xi}(\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\pa...
...}+\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\eta})\dfrac{\partial\eta}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi^{2}}+\dfrac{\part...
...{\partial\eta^{2}}+2\dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi\partial\eta}$    

$ \psi(t,x)$$ x[m]$ についての2次導関数も求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,x)}{\partial x}$ $\displaystyle =\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi}\dfrac{\partial\xi}{\...
...x}+\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial x}$    
  $\displaystyle =-\dfrac{1}{v}\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi}+\dfrac{1}{v}\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\eta}$    
% latex2html id marker 2585
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,x)}{\partial x^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{\partial}{\partial\xi}(-\dfrac{1}{v}\dfrac{\partial\psi(\...
...v}\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\eta})\dfrac{\partial\eta}{\partial x}$    
  $\displaystyle =\dfrac{1}{v^{2}}(\dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi^...
...\partial\eta^{2}}-2\dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi\partial\eta})$    

これらを1次元波動方程式(5.1)式に代入して計算します.

  $\displaystyle \dfrac{1}{v^{2}}(\dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi^{...
...\partial\eta^{2}}-2\dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi\partial\eta})$    
% latex2html id marker 2589
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi\partial\eta}=0$    

最後の式を $ \eta[s]$ について積分すると,

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi}=f_{1}'(\xi)$

となります.ただし, $ f_{1}'(\xi)$$ \eta[s]$ に依らず,$ \xi[s]$ の任意の関数です.この式を $ \xi[s]$ について積分し,計算すると次式を得ます.

  $\displaystyle \psi(\xi,\eta)=\int f_{1}'(\xi)d\xi+f_{2}(\eta)$    
% latex2html id marker 2604
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \psi(\xi,\eta)=f_{1}(\xi)+f_{2}(\eta)$    
% latex2html id marker 2606
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \psi(t,x)=f_{1}(t-\dfrac{x}{v})+f_{2}(t+\dfrac{x}{v})$    

$ f_{1},f_{2}$ はそれぞれ $ \xi[s],\eta[s]$ の任意の関数です.したがって,恒等的に 0 でも可です.よって,1次元波動方程式(5.1)式を満たす関数は,1次元一般波動の形,

$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =f(t-\dfrac{x}{v})$    
$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =f(t+\dfrac{x}{v})$    
$\displaystyle \psi(t,x)$ $\displaystyle =f_{1}(t-\dfrac{x}{v})+f_{2}(t+\dfrac{x}{v})$    

をもつことが導出されました.また,正弦波は1次元一般波動の一部として含まれるので,1次元波動方程式の1つの解として,正弦波(正弦関数,余弦関数,複素数の指数関数でそれぞれ表現されます.)があることにも注意しておきましょう.

 

5.4 3次元一般平面波

3次元一般平面波を考えましょう.単位ベクトル $ \vec{u}\,$ の向きに一定の速度 $ \vec{v}(=v\vec{u})[m/s]$ で進む平面波の波面の方程式は,(ただし,時刻 $ t'[s]$ において平面は原点を通る場合を考えます.)

$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{x}=v(t-t')$

です.ただし,波形は形を変えずに進行しますが,波形は任意のものとします.原点を通る平面における時刻 $ t'[s]$ での波動一般量 $ \psi(t,\vec{x})$ は,

$\displaystyle \psi(t',\vec{x}=0)=f(t')$

です.関数 $ f(t')$ は任意であり,原点を含む平面での波動一般量 $ \psi(t,\vec{x})$ を次の図のように示しておきます.(青枠の平面です.)時間が経過し,平面波が $ \vec{u}\cdot\vec{x}[m]$ 進行します.(緑枠の平面です.)そのときの時刻を $ t[s]$ とします.

3次元一般平面波

Figure5.5: 3次元一般平面波

原点 $ O$ を含む平面上の波動一般量 $ \psi(t,\vec{x})$ が,原点から $ \vec{u}\cdot\vec{x}[m]$ 離れた平面上の点 $ P$ に伝わるのに,時間,

$\displaystyle \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v}[s]$

だけかかります.したがって,

  $\displaystyle t'+\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v}=t$    
% latex2html id marker 2657
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle t'=t-\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v}$    

の関係があります.以上のことをまとめると,

 "時刻 $ t[s]$ における点 $ P$ を含む平面上の波動一般量は時刻 $ (t-\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})[s]$ における原点 $ O$ を含む平面上の波動一般量に等しくなります."

ということになります.故に,3次元一般平面波を表す式は,

  $\displaystyle \psi($時刻 $ t[s]$ における点 $ P$ を含む平面上の波動一般量$\displaystyle )$    
  $\displaystyle \,\,\,=\{$時刻 $ (t-\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})[s]$ における原点 $ O$ を含む平面上の波動一般量$\displaystyle \}$    

ですから,

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})=f(t-\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})$

となります.ここで,波動が負の方向に進む場合も,上記と同様な議論により波動一般量を表す式が導けますが,ここでは簡単に伝搬速度 $ v[m/s]$$ -v[m/s]$ に置き換えるだけで求めておきます.その結果は次のようになります.

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})=f(t+\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})$

以上が,3次元一般平面波を表す式です.

 3次元正弦波は3次元一般平面波の一種になります.正弦関数を使った正の方向に進行する正弦波については,表式は次のようになります.

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$ $\displaystyle =A\sin\omega(t-\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})$    
  $\displaystyle =A\sin⁡(\omega t-k\vec{u}\cdot\vec{x})$    

ここで,

$\displaystyle \vec{k}\equiv k\vec{u}\,$

として波数ベクトルを表記すると,このベクトルは大きさが波数を示し,向きは波動の進行方向を表します.このとき, $ \psi(t,\vec{x})$ は,

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})=A\sin⁡(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{x})$

となります.負の方向に進行する波動も含めて,他の3次元正弦波も同じように導出できます.3次元正弦波をまとめておきます.

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$ $\displaystyle =A\sin⁡(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{x})$    
$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$ $\displaystyle =A\sin⁡(\omega t+\vec{k}\cdot\vec{x})$    
$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$ $\displaystyle =A\cos⁡(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{x})$    
$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$ $\displaystyle =A\cos⁡(\omega t+\vec{k}\cdot\vec{x})$    
$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$ $\displaystyle =A\,e^{i(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{x})}$    
$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$ $\displaystyle =A\,e^{i(\omega t+\vec{k}\cdot\vec{x})}$    

 

5.5 3次元波動方程式

一定の波形,一定の速さで伝搬する3次元一般平面波は,前のSectionで述べたように,

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})=f(t-\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})$    
$\displaystyle \psi(t,\vec{x})=f(t+\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})$    

という形をもちます.上の式が,正の方向に進行する3次元一般平面波,下の式が負の方向に進行する3次元一般平面波を表します.このとき, $ \psi(t,\vec{x})$ が満たす方程式を求めてみましょう.

 まず,正の方向に進む波動について調べてみます.

$\displaystyle \xi\equiv t-\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v}$

とおき, $ \psi(t,\vec{x})$$ t[s]$ についての2次導関数を求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,\vec{x})}{\partial t}$ $\displaystyle =\dfrac{df(\xi)}{d\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{df(\xi)}{d\xi}$    
% latex2html id marker 2722
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{d}{d\xi}(\dfrac{df(\xi)}{d\xi})\dfrac{\partial\xi}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{d^{2}f(\xi)}{d\xi^{2}}$    

続けて, $ \psi(t,\vec{x})$$ x[m]$ についての2次導関数も求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,\vec{x})}{\partial x}$ $\displaystyle =\dfrac{df(\xi)}{d\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial x}$    
  $\displaystyle =-\dfrac{u_{x}}{v}\dfrac{df(\xi)}{d\xi}$    
% latex2html id marker 2732
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial x^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{d}{d\xi}(-\dfrac{u_{x}}{v}\dfrac{df(\xi)}{d\xi})\dfrac{\partial\xi}{\partial x}$    
  $\displaystyle =\dfrac{u_{x}^{2}}{v^{2}}\dfrac{d^{2}f(\xi)}{d\xi^{2}}$    

$ y[m],z[m]$ についても同様です.故に,

$\displaystyle \dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial x^{2}}+\dfrac{\parti...
..._{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}f(\xi)}{\partial\xi^{2}}$

ですが,$ \vec{u}\,$ は単位ベクトルであり,右辺の $ f$$ \xi[s]$ についての2階微分を $ \psi(t,\vec{x})$ の時間の2階微分でおきかえると,

$\displaystyle \dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial x^{2}}+\dfrac{\parti...
...tial z^{2}}=\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}$

となります.したがって,次の3次元波動方程式といわれる,3次元一般平面波についての基礎方程式が成立します.

$\displaystyle \dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial t^{2...
...rtial^{2}}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}}{\partial z^{2}})\psi(t,\vec{x})$

ここで,記号ナブラ $ \nabla$

$\displaystyle \nabla\equiv(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z})$

を導入すると,

$\displaystyle \nabla^{2}$ $\displaystyle =(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfra...
...partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z})$    
  $\displaystyle =\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$    

となりますので,3次元波動方程式は,

$\displaystyle \fbox{$\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}=\nabla^{2}\psi(t,\vec{x})$}$ (5.2)

と表すことができます.

 次に,負の方向に進む波動について調べてみます.

$\displaystyle \eta\equiv t+\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v}$

とおき, $ \psi(t,\vec{x})$$ t[s]$ についての2次導関数を求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,\vec{x})}{\partial t}$ $\displaystyle =\dfrac{df(\eta)}{d\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{df(\eta)}{d\eta}$    
% latex2html id marker 2769
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{d}{d\eta}(\dfrac{df(\eta)}{d\eta})\dfrac{\partial\eta}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{d^{2}f(\eta)}{d\eta^{2}}$    

続けて, $ \psi(t,\vec{x})$$ x[m]$ についての2次導関数も求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,\vec{x})}{\partial x}$ $\displaystyle =\dfrac{df(\eta)}{d\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial x}$    
  $\displaystyle =\dfrac{u_{x}}{v}\dfrac{df(\eta)}{d\eta}$    
% latex2html id marker 2779
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial x^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{d}{d\eta}(\dfrac{u_{x}}{v}\dfrac{df(\eta)}{d\eta})\dfrac{\partial\eta}{\partial x}$    
  $\displaystyle =\dfrac{u_{x}^{2}}{v^{2}}\dfrac{d^{2}f(\eta)}{d\eta^{2}}$    

$ y[m],z[m]$ についても同様です. $ \psi(t,\vec{x})$$ t[s]$$ x[m]$ についての2次の導関数の表式が正の方向に進行する場合の $ \xi[s]$$ \eta[s]$ で置き換えたものなので,3次元波動方程式(5.2)の導出は前述のものと同様になります.

 また,

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})=f_{1}(t-\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})+f_{2}(t+\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})$

の形の $ \psi(t,\vec{x})$ も3次元波動方程式(5.2)式を満たします.このことを,次のように確かめておきます. $ \psi(t,\vec{x})$$ t[s]$ についての2次導関数を求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,\vec{x})}{\partial t}$ $\displaystyle =\dfrac{df_{1}(\xi)}{d\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial t}+\dfrac{df_{2}(\eta)}{d\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{df_{1}(\xi)}{d\xi}+\dfrac{df_{2}(\eta)}{d\eta}$    
% latex2html id marker 2805
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{d}{d\xi}(\dfrac{df_{1}(\xi)}{d\xi})\dfrac{\partial\xi}{\p...
...}+\dfrac{d}{d\eta}(\dfrac{df_{2}(\eta)}{d\eta})\dfrac{\partial\eta}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{d^{2}f_{1}(\xi)}{d\xi^{2}}+\dfrac{d^{2}f_{2}(\eta)}{d\eta^{2}}$    

続けて, $ \psi(t,\vec{x})$$ x[m]$ についての2次導関数も求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,\vec{x})}{\partial x}$ $\displaystyle =\dfrac{df_{1}(\xi)}{d\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial x}+\dfrac{df_{2}(\eta)}{d\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial x}$    
  $\displaystyle =-\dfrac{u_{x}}{v}\dfrac{df_{1}(\xi)}{d\xi}+\dfrac{u_{x}}{v}\dfrac{df_{2}(\eta)}{d\eta}$    
% latex2html id marker 2815
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial x^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{d}{d\xi}(-\dfrac{u_{x}}{v}\dfrac{df_{1}(\xi)}{d\xi})\dfra...
...a}(\dfrac{u_{x}}{v}\dfrac{df_{2}(\eta)}{d\eta})\dfrac{\partial\eta}{\partial x}$    
  $\displaystyle =\dfrac{u_{x}^{2}}{v^{2}}(\dfrac{d^{2}f_{1}(\xi)}{d\xi^{2}}+\dfrac{d^{2}f_{2}(\eta)}{d\eta^{2}})$    

$ y[m],z[m]$ についても同様です.故に,

$\displaystyle \dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial x^{2}}+\dfrac{\parti...
...}{v^{2}}(\dfrac{d^{2}f_{1}(\xi)}{d\xi^{2}}+\dfrac{d^{2}f_{2}(\eta)}{d\eta^{2}})$

ですが,$ \vec{u}\,$ は単位ベクトルであり,右辺の括弧の中を $ \psi(t,\vec{x})$ の時間の2階微分でおきかえると,

$\displaystyle \dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial x^{2}}+\dfrac{\parti...
...tial z^{2}}=\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}$

となります.故に, $ \psi(t,\vec{x})$ は3次元波動方程式(5.2)式を満たすことが確認されました.

 逆に,3次元波動方程式(5.2)式を満たす関数は,

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$ $\displaystyle =f(t-\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})$    
$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$ $\displaystyle =f(t+\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})$    
$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$ $\displaystyle =f_{1}(t-\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})+f_{2}(t+\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})$    

のいずれかの形をもつことを示しておきます.

  $\displaystyle t=\dfrac{1}{2}(\xi+\eta)$    
  $\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{x}=\dfrac{v}{2}(\eta-\xi)$    

なので,

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})=\psi\{\xi(t,\vec{x}),\eta(t,\vec{x})\}$

となります. $ \psi(t,\vec{x})$$ t[s]$ についての2次導関数を求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,\vec{x})}{\partial t}$ $\displaystyle =\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi}\dfrac{\partial\xi}{\...
...t}+\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi}+\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\eta}$    
% latex2html id marker 2847
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{\partial}{\partial\xi}(\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\pa...
...}+\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\eta})\dfrac{\partial\eta}{\partial t}$    
  $\displaystyle =\dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi^{2}}+\dfrac{\part...
...{\partial\eta^{2}}+2\dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi\partial\eta}$    

$ \psi(t,\vec{x})$$ x[m]$ についての2次導関数も求めてみます.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,\vec{x})}{\partial x}$ $\displaystyle =\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi}\dfrac{\partial\xi}{\...
...x}+\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial x}$    
  $\displaystyle =-\dfrac{u_{x}}{v}\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi}+\dfrac{u_{x}}{v}\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\eta}$    
% latex2html id marker 2857
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial x^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{\partial}{\partial\xi}(-\dfrac{u_{x}}{v}\dfrac{\partial\p...
...v}\dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\eta})\dfrac{\partial\eta}{\partial x}$    
  $\displaystyle =\dfrac{u_{x}^{2}}{v^{2}}(\dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\par...
...\partial\eta^{2}}-2\dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi\partial\eta})$    

$ y[m],z[m]$ についても同様な式が得られます.これらを3次元波動方程式(5.2)式に代入して計算します.

  $\displaystyle \dfrac{1}{v^{2}}(\dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi^{...
...\partial\eta^{2}}-2\dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi\partial\eta})$    
% latex2html id marker 2863
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi^{2}}+\dfrac{\parti...
...{\partial\eta^{2}}-2\dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi\partial\eta}$    
% latex2html id marker 2865
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \dfrac{\partial^{2}\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi\partial\eta}=0$    

最後の式を $ \eta[s]$ について積分すると,

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(\xi,\eta)}{\partial\xi}=f_{1}'(\xi)$

となります.ただし, $ f_{1}'(\xi)$$ \eta[s]$ を含まない $ \xi[s]$ の任意の関数です.この式を $ \xi[s]$ について積分し,計算していきます.

  $\displaystyle \psi(\xi,\eta)=\int f_{1}'(\xi)d\xi+f_{2}(\eta)$    
% latex2html id marker 2880
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \psi(\xi,\eta)=f_{1}(\xi)+f_{2}(\eta)$    
% latex2html id marker 2882
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \psi(t,\vec{x})=f_{1}(t-\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})+f_{2}(t+\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})$    

$ f_{1},f_{2}$ はそれぞれ $ \xi[s],\eta[s]$ の任意の関数です.したがって,恒等的に 0 でも可です.よって,3次元波動方程式(5.2)式を満たす関数は,3次元一般波動の形,

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$ $\displaystyle =f(t-\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})$    
$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$ $\displaystyle =f(t+\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})$    
$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$ $\displaystyle =f_{1}(t-\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})+f_{2}(t+\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{x}}{v})$    

をもつことが導出されました.また,正弦波は3次元一般波動の一部として含まれるので,3次元波動方程式の1つの解として,正弦波(正弦関数,余弦関数,複素数の指数関数でそれぞれ表現されます.)があることにも注意しておきましょう.

 次に,3次元球面波が1次元波動方程式(5.1)式と同形の方程式の解として得られることを示します.便宜上,波源を原点におきます.点 $ \vec{x}[m]$ の波源からの距離 $ r[m]$ は,

$\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

です.故に,次の関係があることがわかります.

$\displaystyle \dfrac{\partial\psi(t,r)}{\partial x}$ $\displaystyle =\dfrac{\partial\psi(t,r)}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial x}$    
  $\displaystyle =\dfrac{x}{r}\dfrac{\partial\psi(t,r)}{\partial r}$    
% latex2html id marker 2904
$\displaystyle \therefore\dfrac{\partial^{2}\psi(t,r)}{\partial x^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial\psi(t,r)}{\partial r}+x(-\dfrac{1}{2...
...}{r}\dfrac{\partial^{2}\psi(t,r)}{\partial r^{2}}\dfrac{\partial r}{\partial x}$    
  $\displaystyle =\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial\psi(t,r)}{\partial r}-\dfrac{x^{2}}{...
...}{\partial r}+\dfrac{x^{2}}{r^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi(t,r)}{\partial r^{2}}$    

$ y[m],z[m]$ についても,同様な式が得られます.したがって,次式を得ます.

$\displaystyle \dfrac{\partial^{2}\psi(t,r)}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}\psi(t,r)}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}\psi(t,r)}{\partial z^{2}}$ $\displaystyle =\dfrac{3}{r}\dfrac{\partial\psi(t,r)}{\partial r}-\dfrac{x^{2}+y...
...}+\dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{r^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi(t,r)}{\partial r^{2}}$    
  $\displaystyle =2\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial\psi(t,r)}{\partial r}+\dfrac{\partial^{2}\psi(t,r)}{\partial r^{2}}$    
  $\displaystyle =\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}(r\psi(t,r))$    

最後の式を,3次元波動方程式(5.2)式に代入して変形します.

  $\displaystyle \dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi(t,r)}{\partial t^{2}}=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}(r\psi(t,r))$    
% latex2html id marker 2914
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}(r\psi(t,r))=\dfrac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}(r\psi(t,r))$    

これは,1次元波動方程式(5.1)式において,$ \psi(t,x)$ $ r\psi(t,r)$ で置き換えた式なので,その解は次の通りです.

  $\displaystyle r\psi(t,r)=f_{1}(t-\dfrac{r}{v})+f_2(t+\dfrac{r}{v})$    
% latex2html id marker 2921
$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \psi(t,r)=\dfrac{1}{r}f_{1}(t-\dfrac{r}{v})+\dfrac{1}{r}f_{2}(t+\dfrac{r}{v})$    

最後の式の右辺第1項は,波源からあらゆる方向へ速さ $ v[m/s]$ で伝わる波動を,右辺第2項はあらゆる方向から速さ $ v[m/s]$ で波源に集まる波動を表しています.また,それぞれの項に $ r[m]$ の逆数が含まれているのは,波源から離れると振幅が減少することを示しています.