Chapter21 同種粒子と多粒子系

21.1 同種粒子

同種粒子とは，原理的に区別することができない粒子のことをいいます．素粒子は同種粒子です．つまり，電子，陽子，中性子，クォーク，レプトンといった粒子は，それぞれにおいて同種粒子です．

 

21.2 対称的状態と反対称的状態

1種類の同種粒子からなる多粒子系について考えます．$ N$ 粒子系の状態の波動関数を，次のように表します．

$\displaystyle \psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{N})$

$ N$ 粒子系の状態について，対称的状態と反対称的状態というものを定義しておきましょう．対称的状態とは，1対の粒子の入れ替えについて，変化しない状態のことをいいます．

$\displaystyle \psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{j},\cdots,\bm{x}_{N})=\psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{j},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{N})$

それに対して，反対称的状態とは，1対の粒子の入れ替えについて，符号が反対になる状態のことをいいます．

$\displaystyle \psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{j},\cdots,\bm{x}_{N})=-\psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{j},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{N})$

同種粒子からなる多粒子系については，次のような原理が成立します．

原理21.1 "同種粒子の状態は，対称的状態か，または反対称的状態です．"

この原理を導出しておきましょう．まず，粒子の入れ替えを行う演算子 $ \hat{P}$ を次のように定義しておきます．

$\displaystyle \hat{P}_{ij}\psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{j}... ...}_{N})=\psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{j},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{N})$

このとき，同種粒子の場合，この式の右辺は元の状態の定数倍になると仮定しましょう．

$\displaystyle \hat{P}_{ij}\psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{j},\cdots,\bm{x}_{N})$ $\displaystyle =\psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{j},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{N})$    
  $\displaystyle =c\psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{j},\cdots,\bm{x}_{N})$    

ここで，2回続けて同じ1対の粒子の入れ替えを行うと，

$\displaystyle \hat{P}_{ij}\cdot\hat{P}_{ij}\psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{j},\cdots,\bm{x}_{N})$ $\displaystyle =\hat{P}_{ij}c\psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{j},\cdots,\bm{x}_{N})$    
  $\displaystyle =c^{2}\psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{j},\cdots,\bm{x}_{N})$    

となります．2回同じ1対の粒子を入れ換えると，元の状態と完全に一致するはずです．

$\displaystyle c^{2}\psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{j},\cdots... ...}_{N})=\psi(t;\bm{x}_{1},\cdots,\bm{x}_{i},\cdots,\bm{x}_{j},\cdots,\bm{x}_{N})$

したがって，

  $\displaystyle c^{2}=1$    
% latex2html id marker 371 $\displaystyle \therefore$ $\displaystyle c=\pm1$    

となります．故に，同種粒子の状態は，対称的状態か，または反対称的状態になります．

 

21.3 スピンと統計の関係

一般に，角運動量の値は整数か，または半整数になります．スピンの場合も例外ではありません．整数スピンをもつ粒子をボーズ粒子（ボゾン）といい，半整数スピンをもつ粒子をフェルミ粒子（フェルミオン）といいます．ボゾンの状態は対称的状態であり，ボーズ統計に従います．フェルミオンの状態は反対称的状態であり，フェルミ統計に従います．ボゾンの代表例は光子（フォトン）であり，フェルミオンの代表例は電子です．

 

21.4 パウリの排他律

フェルミオンの場合，その状態は反対称的状態でした．$ N$ 個のフェルミオンからなる系の波動関数を，

$\displaystyle \psi=\psi(t;\bm{x}_{1},\sigma_{1},\cdots,\bm{x}_{i},\sigma_{i},\cdots,\bm{x}_{j},\sigma_{j},\cdots,\bm{x}_{N},\sigma_{N})$

と表します．ただし，$ \sigma$ はスピン座標です．このとき，任意の2つのフェルミオンの座標の入れ替えを行うと，

$\displaystyle \hat{P}_{ij}\psi(t;\bm{x}_{1},\sigma_{1},\cdots,\bm{x}_{i},\sigma... ...bm{x}_{j},\sigma_{j},\cdots,\bm{x}_{i},\sigma_{i},\cdots,\bm{x}_{N},\sigma_{N})$

となります．フェルミオンの状態は反対称的状態ですので，

$\displaystyle \psi(t;\bm{x}_{1},\sigma_{1},\cdots,\bm{x}_{j},\sigma_{j},\cdots,... ...bm{x}_{i},\sigma_{i},\cdots,\bm{x}_{j},\sigma_{j},\cdots,\bm{x}_{N},\sigma_{N})$

の関係が成立します．ただし，$ i$ と $ j$ は，$ 1$ から $ N$ までの中の任意の2個の粒子を表します．ここで，もし，2つのフェルミオンが同じ座標を占めて，それが $ (\bm{x}_{i},\sigma_{i})$ と $ (\bm{x}_{j},\sigma_{j})$ だったとします．このとき，上の式からわかるように，波動関数は 0 になってしまいます．つまり，

原理21.2(パウリの排他律) "フェルミオンはスピンを含め，同一の状態を2つ以上占めることができません．"

というパウリの排他律という原理が成立するのです．